表达式

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它们都是对表达式的记法,因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同:前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前;中缀和后缀同理。

举例:

(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式

中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法,操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式,但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的,因此计算表达式的值时,通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式,然后再进行求值。对计算机来说,计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式(前缀记法、波兰式)

前缀表达式的运算符位于操作数之前。从右至左扫描表达式,遇到数字时,将数字压入堆栈,遇到运算符时,弹出栈顶的两个数,用运算符对它们做相应的计算(栈顶元素 op 次顶元素),并将结果入栈;重复上述过程直到表达式最左端,最后运算得出的值即为表达式的结果。

例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”:

(1) 从右至左扫描,将 6、5、4、3 压入堆栈;

(2) 遇到+运算符,因此弹出 3 和 4(3 为栈顶元素,4 为次顶元素,注意与后缀表达式做比较),计算出 3+4 的值,得 7,再将 7 入栈;

(3) 接下来是 × 运算符,因此弹出 7 和 5,计算出 7×5=35,将 35 入栈;

(4) 最后是-运算符,计算出 35-6 的值,即 29,由此得出最终结果。

可以看出,用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

中缀转化为前缀

遵循以下步骤:

(1) 初始化两个栈:运算符栈 S1 和储存中间结果的栈 S2;

(2) 从右至左扫描中缀表达式;

(3) 遇到操作数时,将其压入 S2;

(4) 遇到运算符时,比较其与 S1 栈顶运算符的优先级:

(4-1) 如果 S1 为空,或栈顶运算符为右括号“)”,则直接将此运算符入栈;

(4-2) 否则,若优先级比栈顶运算符的较高或相等,也将运算符压入 S1;

(4-3) 否则,将 S1 栈顶的运算符弹出并压入到 S2 中,再次转到(4-1)与 S1 中新的栈顶运算符相比较;

(5) 遇到括号时:

(5-1) 如果是右括号“)”,则直接压入 S1;

(5-2) 如果是左括号“(”,则依次弹出 S1 栈顶的运算符,并压入 S2,直到遇到右括号为止,此时将这一对括号丢弃;

(6) 重复步骤(2)至(5),直到表达式的最左边;

(7) 将 S1 中剩余的运算符依次弹出并压入 S2;

(8) 依次弹出 S2 中的元素并输出,结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

例如,将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下:

扫描到的元素

S2(栈底->栈顶)

S1 (栈底->栈顶)

说明

5

5

数字,直接入栈

-

5

-

S1 为空,运算符直接入栈

)

5

- )

右括号直接入栈

4

5 4

- )

数字直接入栈

×

5 4

- ) ×

S1 栈顶是右括号,直接入栈

)

5 4

- ) × )

右括号直接入栈

3

5 4 3

- ) × )

数字

+

5 4 3

- ) × ) +

S1 栈顶是右括号,直接入栈

2

5 4 3 2

- ) × ) +

数字

(

5 4 3 2 +

- ) ×

左括号,弹出运算符直至遇到右括号

(

5 4 3 2 + ×

-

同上

+

5 4 3 2 + ×

- +

优先级与-相同,入栈

1

5 4 3 2 + × 1

- +

数字

到达最左端

5 4 3 2 + × 1 + -

S1 中剩余的运算符

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式